黑塞矩陣(Hessian Matrix)


在機器學習課程裡提到瞭這個矩陣,那麼這個矩陣是從哪裡來,又是用來作什麼用呢?先來看一下定義:


黑塞矩陣(Hessian Matrix),又譯作海森矩陣、海瑟矩陣、海塞矩陣等,是一個多元函數的二階偏導數構成的方陣,描述瞭函數的局部曲率。黑塞矩陣最早於19世紀由德國數學傢Ludwig Otto Hesse提出,並以其名字命名。黑塞矩陣常用於牛頓法解決優化問題。



一般來說, 牛頓法主要應用在兩個方面, 1, 求方程的根; 2, 最優化.


在機器學習裡,可以考慮采用它來計算n值比較少的數據,在圖像處理裡,可以抽取圖像特征,在金融裡可以用來作量化分析。


圖像處理可以看這個連接:


http://blog.csdn.net/jia20003/article/details/16874237


量化分析可以看這個:


http://ookiddy.iteye.com/blog/2204127


下面使用TensorFlow並且使用黑塞矩陣來求解下面的方程:



代碼如下:


#python 3.5.3  蔡軍生
#http://edu.csdn.net/course/detail/2592
#
import tensorflow as tf
import numpy as np

def cons(x):
return tf.constant(x, dtype=tf.float32)
def compute_hessian(fn, vars):
mat = []
for v1 in vars:
temp = []
for v2 in vars:
# computing derivative twice, first w.r.t v2 and then w.r.t v1
temp.append(tf.gradients(tf.gradients(f, v2)[0], v1)[0])
temp = [cons(0) if t == None else t for t in temp] # tensorflow returns None when there is no gradient, so we replace None with 0
temp = tf.stack(temp)
mat.append(temp)
mat = tf.stack(mat)
return mat

x = tf.Variable(np.random.random_sample(), dtype=tf.float32)
y = tf.Variable(np.random.random_sample(), dtype=tf.float32)

f = tf.pow(x, cons(2)) + cons(2) * x * y + cons(3) * tf.pow(y, cons(2)) + cons(4)* x + cons(5) * y + cons(6)
# arg1: our defined function, arg2: list of tf variables associated with the function
hessian = compute_hessian(f, [x, y])

sess = tf.Session()
sess.run(tf.global_variables_initializer())
print(sess.run(hessian))

輸出結果如下:



再來舉多一個例子的源碼,它就是用來計算量化分析,這個代碼很值錢啊,如下:


#python 3.5.3  蔡軍生
#http://edu.csdn.net/course/detail/2592
#
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import scipy.optimize as opt

#構造Hessian矩陣
def rosen_hess(x):
x = np.asarray(x)
H = np.diag(-400*x[:-1],1) - np.diag(400*x[:-1],-1)
diagonal = np.zeros_like(x)
diagonal[0] = 1200*x[0]**2-400*x[1]+2
diagonal[-1] = 200
diagonal[1:-1] = 202 + 1200*x[1:-1]**2 - 400*x[2:]
H = H + np.diag(diagonal)
return H
def rosen(x):
"""The Rosenbrock function"""
return sum(100.0*(x[1:]-x[:-1]**2.0)**2.0 + (1-x[:-1])**2.0)
def rosen_der(x):
xm = x[1:-1]
xm_m1 = x[:-2]
xm_p1 = x[2:]
der = np.zeros_like(x)
der[1:-1] = 200*(xm-xm_m1**2) - 400*(xm_p1 - xm**2)*xm - 2*(1-xm)
der[0] = -400*x[0]*(x[1]-x[0]**2) - 2*(1-x[0])
der[-1] = 200*(x[-1]-x[-2]**2)
return der

x_0 = np.array([0.5, 1.6, 1.1, 0.8, 1.2])

res = opt.minimize(rosen, x_0, method='Newton-CG', jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})
print("Result of minimizing Rosenbrock function via Newton-Conjugate-Gradient algorithm (Hessian):")
print(res)

輸出結果如下:


====================== RESTART: D:/AI/sample/tf_1.43.py ======================
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 20
         Function evaluations: 22
         Gradient evaluations: 41
         Hessian evaluations: 20
Result of minimizing Rosenbrock function via Newton-Conjugate-Gradient algorithm (Hessian):
     fun: 1.47606641102778e-19
     jac: array([ -3.62847530e-11,   2.68148992e-09,   1.16637362e-08,
         4.81693414e-08,  -2.76999090e-08])
 message: 'Optimization terminated successfully.'
    nfev: 22
    nhev: 20
     nit: 20
    njev: 41
  status: 0
 success: True
       x: array([ 1.,  1.,  1.,  1.,  1.])
>>>


可見hessian矩陣可以使用在很多地方瞭吧。


1. C++標準模板庫從入門到精通 




http://edu.csdn.net/course/detail/3324


2.跟老菜鳥學C++


http://edu.csdn.net/course/detail/2901

3. 跟老菜鳥學python


http://edu.csdn.net/course/detail/2592

4. 在VC2015裡學會使用tinyxml庫


http://edu.csdn.net/course/detail/2590

5. 在Windows下SVN的版本管理與實戰 


 http://edu.csdn.net/course/detail/2579


6.Visual Studio 2015開發C++程序的基本使用 


http://edu.csdn.net/course/detail/2570


7.在VC2015裡使用protobuf協議


http://edu.csdn.net/course/detail/2582


8.在VC2015裡學會使用MySQL數據庫


http://edu.csdn.net/course/detail/2672


可以看更多的網站:


http://blog.csdn.net/ubunfans/article/details/41520047


http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/51167852


http://jacoxu.com/jacobian%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%92%8Chessian%E7%9F%A9%E9%98%B5/


http://www.cnblogs.com/logosxxw/p/4651413.html

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