矩陣/行列式的意義


一、代數意義


矩陣乘法規則看起來比較復雜,不容易理解其乘法規則背後隱含的意義。現舉一個例子說明矩陣乘法的意義。如下圖所示,一個商店出售Beef pie,chicken pie,vegetable pie,其單價分別為3元,4元,2元。此外,還統計出瞭每天上述三種pie的售貨量,求每天的總銷售額。



我們可以創建一個以不同pie單價為元素的1X3的矩陣,如下圖所示,然後乘以每天不同pie的售貨量,這樣就可以得到每天的銷售總額。



矩陣乘法,很重要的一點就是要註意矩陣的order,即A*B不一定等於B*A。另外,要做A*B運算時,要保證A的列要與B的行所屬物理意義相同。比如上例中A的列分別是beef pie, chicken pie, vegetable

pie,分別對應於B中的行beef,chicken,vegetable,這樣兩個矩陣相乘才有意義。這也是做矩陣乘法時為何要保證A的列數=B的行數的原因之一。



二、幾何意義


行列式的定義:


行列式是由一些數據排列成的方陣經過規定的計算方法而得到的一個數。當然,如果行列式中含有未知數,那麼行列式就是一個多項式。它本質上代表一個數值,這點請與矩陣區別開來。矩陣隻是一個數表,行列式還要對這個數表按照規則進一步計算,最終得到一個實數、復數或者多項式。


一階行列式


(註意不是絕對值)


二階行列式



三階行列式



N階行列式



行列式的幾何意義是什麼呢?


概括說來有兩個解釋:


一個解釋是行列式就是行列式中的行或列向量所構成的超平行多面體的有向面積或有向體積;


另一個解釋是矩陣A的行列式detA就是線性變換A下的圖形面積或體積的伸縮因子。


這兩個幾何解釋一個是靜態的體積概念,一個是動態的變換比例概念。但具有相同的幾何本質,因為矩陣A表示的(矩陣向量所構成的)幾何圖形相對於單位矩陣E的所表示的單位面積或體積(即正方形或正方體或超立方體的容積等於1)的幾何圖形而言,伸縮因子本身就是矩陣矩陣A表示的幾何圖形的面積或體積,也就是矩陣A的行列式。




二階行列式的幾何意義:


二階行列式的幾何意義是xoy平面上以行向量為鄰邊的平行四邊形的有向面積。



二階行列式的幾何意義就是由行列式的向量所張成的平行四邊形的面積。另外,兩個向量的叉積也是這個公式。



二階行列式的另一個意義就是是兩個行向量或列向量的叉積的數值,這個數值是z軸上(在二維平面上,z軸的正向想象為指向讀者的方向)的叉積分量。如果數值是正值,則與z坐標同向;負值就與z坐標反向。如果我們不強調叉積是第三維的向量,也就是忽略單位向量,那麼二階行列式就與兩個向量的叉積完全等價瞭。


二階行列式性質的幾何解釋:








兩向量在同一條直線上,顯然圍成的四邊形的面積為零,因此行列式為零



這個性質由行列式的叉積特性得到,交換行列式的兩行,就是改變瞭向量a和向量b的叉積順序,根據,因此行列式換號。



把行列式的一行的k倍加到另一行,則行列式值不變,即




矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式(根據行列式的定義可證)




總結:


(1)用一個數k乘以向量a,b中之一的a,則平行四邊形的面積就相應地增大瞭k倍;


(2)把向量a,b中的一個乘以數k之後加到另一個上,則平行四邊形的面積不變;


(3)以單位向量(1,0),(0,1)構成的平行四邊形(即單位正方形)的面積為1。


三階行列式的幾何意義:


一個3×3階的行列式是其行向量或列向量所張成的平行六面體的有向體積。




一個行列式可以通過拆分某一個列向量得到兩個行列式的和




行列式的有兩行或者兩列元素相同,它對應的空間平行六面體的兩條鄰邊重合,相當於三維空間中六面體被壓成瞭高度為零的二維平面,顯然,這個平面的三維體積為零。




一個行列式對應著一個數值,這個數值是對行列式中的元素經過運算得到的。這個運算是與元素的位置有關系的,因此你改變瞭行列式中列向量或行向量的位置當然會改變行列式的結果。幸而隻改變結果的符號。一般地,一個行列式的值對應矩陣A的列向量的一個固定順序。當detA為負值時,它確定原象的一個反射。所以,這種變換改變瞭原象的定向。





這就是說,平行六面體的體積的k倍等於六面體的三條棱中一條棱長的k倍。這是顯然的。因為立方體的體積增大可以沿著立方體某一棱方向增大相同的倍數。




此性質表述瞭以為底面積的平行六面體在a方向上進行瞭切向變換,變換的後的六面體因為底面積不變,高也不變,因此體積不變。




矩陣A的行列式等於矩陣A轉置的行列式



行列式化為對角形的幾何解釋:


一個行列式的第i行加上j行的K倍,可以使第i行的某一個元素變為0,而這個行列式的值不變。這個性質在化簡行列式時非常有用。



一個二階行列式所表示的平行四邊形被變成瞭一個對角行列式所表示的正(長)方形。


三階行列式有類似的變換情形,對角化的過程會把一個平行六面體變化為一個等體積的立方體或長方體。


那麼n階行列式我們亦不懷疑的認為也可以被表示成一個n維的長方體的幾何圖形。


二階行列式乘積項的幾何意義:


對於二階行列式而言,既然二階行列式的幾何圖形是一個有方向的面積,那麼從二階行列式公理化定義−看,又是如何構成這個面積的呢?顯然,式中項和項的和構成瞭這個面積。(面積方向的確定:叉積的右手定則)



三階行列式乘積項的幾何意義:



與二階行列式的乘積項的幾何解釋類似,三階行列式的乘積項,可以看成具有有方向的小長方體的體積。也就是說,在三階方陣張成的三維平行六面體可以分解為一個個由各座標分量混合積構成的小長方體。這些小長方體共有六塊,其體積具有方向。


n階行列式乘積項的幾何意義:


N階行列式的超平行多面體的幾何圖形是由行(或列)向量張成的,而且這個n維超平行多面體與一個n維超長方體等體積。



比如一個二階行列式可以分拆成兩個這樣的二階對角行列式:




一個三階行列式可以拆分成六個(其餘的行列式值等於零)三階對角行列式:



一個行列式的整體幾何意義是有向線段(一階行列式)或有向面積(二階行列式)或有向體積(三階行列式及以上)。


因此,行列式最基本的幾何意義是由各個坐標軸上的有向線段所圍起來的所有有向面積或有向體積的累加和。這個累加要註意每個面積或體積的方向或符號,方向相同的要加,方向相反的要減,因而,這個累加的和是代數和。


克萊姆法則的幾何意義:


1750年,瑞士的克萊姆發現瞭用行列式求解現行方程組的克萊姆(Cramer)法則。這個法則在表述上簡潔自然,思想深刻,包含瞭對多重行列式的計算,是對行列式與線性方程組之間關系的深刻理解。如果我們不能從幾何上解釋這個法則,就不可能領會向量、行列式和線性方程組之間的真正關系。


二階克萊姆法則的幾何解釋:


二階線性方程組:



其克萊姆法則的解:








三階克萊姆法則的幾何解釋:


三階線性方程組如下:



其克萊姆法則的解:



過程與二階類似,參考二階的推導過程。


克萊姆法則的意義是可以用方程組的系數和常數項的行列式把方程組的解簡潔的表達出來。但在實際工程應用中由於計算量較大,常常采用高斯消元法來解大型的線性方程組。

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