范疇及范疇論的理解


范疇(category)不僅僅是一種數學語言,更是一種哲學觀點。代數思想的精髓在於:抽象,但是簡潔。概括性極高。


0. 預備概念



  • 態射:morphism,最常見的這種過程的例子是在某種意義上保持結構的函數或映射。在集合論中,例如,態射就是函數,在群論中,它們是群同態,而在拓撲學中,它們是連續函數。在泛代數(universal algebra)的范圍,態射通常就是同態。

    • 對態射和它們定義於其間的結構(或對象)的抽象研究構成瞭范疇論的一部分。在范疇論中,態射不必是函數,而通常被視為兩個對象(不必是集合 )間的箭頭。不象映射一個集合的元素到另外一個集合,它們隻是表示域(domain)和陪域(codomain)間的某種關系。

    • 盡管態射的本質是抽象的,多數人關於它們的直觀(事實上包括大部分術語)來自於具體范疇的例子,在那裡對象就是有附加結構的集合而態射就是保持這種結構的函數。




2. 基本思想


代數思想不同於分析思想,它的初衷是希望用最簡潔的語言把盡可能多的概念統一起來,亦即對普適性的追求。(也即代數思想是自下而上的歸納,分析是自上而下的細化)。


大部分數學對象抽象到不能抽象的地步,就必須用范疇的語言去描述。簡而言之,范疇是大部分數學對象的極限抽象(終極抽象)。這裡的“抽象”,是指把不同概念用同一種方式描述起來的過程。例如,所有的集合組成一個范疇,所有的線性空間組成一個范疇,所有的群組成一個范疇,所有的流形也組成一個范疇,因此范疇是集合、線性空間、群、流形的抽象。


范疇是對共性的描述。


但抽象不能盲目,因為作為一個數學對象(object),必須要有其內在的運算規則(規則定義瞭對象)才行,否則范疇這個概念也太寬泛瞭。為瞭賦予范疇內在的運算規則,需要“態射(morphism,或者箭頭)”這個概念。而且態射不能亂射,必須要射得有規律,這種規律稱為結合律。我們小學就知道,加法和乘法都有結合律。有瞭內在的運算規則(相同范疇),需不需要外在的運算規則(不同范疇之間)呢?所謂外在的運算規則,是指對於兩個不同范疇,有沒有某種方式把它們聯系起來。這就是“函子(functor)”概念的由來。外在運算當然也不能隨便定義,必須保持范疇的內在運算結構(也就是箭頭方向)不變。


無論范疇也好,內在外在運算也好,所有東西都太抽象,必須想個方法把它們可視化。代數學傢的可視化工具叫做交換圖(commutative diagram)。如下是一個簡單的交換圖:



其中兩個A是范疇1(換個名字也行)的兩個對象,兩個B是范疇2的兩個對象,兩個f分別是兩個范疇的“內在運算”(態射),a和b是范疇2到范疇1的“外在運算”(函子)。這張交換圖是說, 也就是說函子不僅要保持對象的不變性,還要保持態射的不變性。態射最簡單的例子就是加法。


2. 范疇的數學定義


我們甚至可以進一步把這些概念具體化,例如每當我們提到范疇時,可以參照兩個實例:群范疇或線性空間范疇



  • 同態:

    • 態射就是群之間的同態

    • 線性空間之間的線性變換



  • 函數子:

    • 群范疇和線性空間范疇之間的函子就是群表示




上一節中函子和態射之間的交換圖告訴我們,群表示其實就是把群轉換為相性代數的過程。從這裡大傢可以體會到范疇論在數學中的威力—-把很多數學概念用最簡潔語言表示出來

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